Question

已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0，
（1）求證對m∈R，直線l和圓C總相交；
（2）設直線l和圓C交于A、B兩點，當|AB|取得最大值時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用點到直線的距離公式求得圓心C到直線l的距離小于半徑，從而證明直線l和圓C總相交．
解法二：利用直線l：mx-y+1-m=0恒過過定點P（1，1），可判明在圓內，即可證明直線l和圓C總相交．
（2）根據當圓心到直線的距離d最小時，弦長|AB|最大，而m=0時d最小，從而得到直線l的方程．

解答：證明：（1）因圓C的圓心為C（0，1），半徑r=

5

，
所以圓心C到直線l的距離為d=

|m|

1+m2

＜

|m|

|m|

=1，故直線l和圓C總相交，命題得證．
解法二：直線l：mx-y+1-m=0恒過過定點P（1，1），可判明在圓內，即可證明直線l和圓C總相交．
（2）當d最小時，|AB|最大，而m=0時d最小，此時l過圓心（1，1），
直線l：mx-y+1-m=0 即 y=1．

點評：本題主要考查直線和圓相交的性質，直線過定點問題以及點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題．