Question

設函數f(x)=

1+x2

1-x2

．
①求它的定義域；
②求證：f(

1

x

)=-f(x)；
③判斷它在（1，+∞）單調性，并證明．

Answer 1

分析：①由于函數f(x)=

1+x2

1-x2

，故有1-x²≠0，由此求得x的范圍，即可得到函數的定義域．
②由 f(x)=

1+x2

1-x2

，把x換成

1

x

 可得 f(

1

x

)=

1+( 1 x )2

1-( 1 x )2

=

x2+1

x2-1

=-f（x）．
③函數f(x)=

1+x2

1-x2

在（1，+∞）上是增函數，根據函數的單調性的定義進行證明．

解答：解：①由于函數f(x)=

1+x2

1-x2

，故有1-x²≠0，x≠±1，故函數的定義域為{x|x≠±1}．
②證明：∵f(x)=

1+x2

1-x2

，∴f(

1

x

)=

1+( 1 x )2

1-( 1 x )2

=

x2+1

x2-1

=-f（x）．
③函數f(x)=

1+x2

1-x2

在（1，+∞）上是增函數．
證明：設1＜x₁＜x₂＜+∞，
則可得 f（x₁）-f（x₂）=

1+x12

1-x12

-

1+x22

1-x22

=

2(x12-x22)

(1-x12)(1-x22)

．
再由1＜x₁＜x₂＜+∞，可得  x12 -x22＜0，1  -x12＜0，1  -x22＜0，
∴

2(x12-x22)

(1-x12)(1-x22)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故函數f(x)=

1+x2

1-x2

在（1，+∞）上是增函數．

點評：本題主要考查求函數的定義域，函數的單調性的判斷和證明，屬于中檔題．