Question

2010年上海世博會(huì)的志愿者中有這樣一組志愿者：有幾個(gè)人只通曉英語(yǔ)，還有幾個(gè)人只通曉俄語(yǔ)，剩下的人只通曉法語(yǔ)，已知從中任抽一人恰是通曉英語(yǔ)的人的概率為

1

2

，恰是通曉俄語(yǔ)的人的概率為

3

10

，且通曉法語(yǔ)的人數(shù)不超過3人．
（I）求這組志愿者的人數(shù)；
（II）現(xiàn)從這組志愿者中選出通曉英語(yǔ)、俄語(yǔ)和法語(yǔ)的志愿者各1名，若甲通曉俄語(yǔ)，乙通曉法語(yǔ)，求甲和乙不全被選中的概率；
（III）現(xiàn)從這組志愿者中用抽簽法選出3人，求3人所會(huì)的語(yǔ)種數(shù)X的分布列．

Answer 1

分析：（I）設(shè)通曉英語(yǔ)的，通曉俄語(yǔ)的，通曉法語(yǔ)的人數(shù)，根據(jù)通曉英語(yǔ)的人的概率為

1

2

，是通曉俄語(yǔ)的人數(shù)的概率為

3

10

，列出關(guān)于所設(shè)的人數(shù)的表示式，解出結(jié)果．
（II）本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件有C₅¹C₃¹C₂¹種結(jié)果，甲通曉俄語(yǔ)，乙通曉法語(yǔ)，則甲和乙不全被選中的對(duì)立事件是全被選中，先做出兩個(gè)人全被選中的概率，用對(duì)立事件的概率公式得到甲和乙不全被選中的概率．

（III）隨機(jī)變量X的可能取值為1，2，3，求出相應(yīng)的概率，進(jìn)而可求3人所會(huì)的語(yǔ)種數(shù)X的分布列．

解答：解：（I）設(shè)通曉英語(yǔ)的有x人，通曉俄語(yǔ)的有y人，通曉法語(yǔ)的有z人，
且x，y，z∈N^*
則依題意有：

x x+y+z = 1 2 y x+y+z = 3 10

且0＜z≤3…2分∴

x=5 y=3 z=2

，所以，這組志愿者有5+3+2=10人．…3分
（II）   用A表示事件“甲、乙不全被選中”，則A的對(duì)立事件

.

A

表示“甲、乙全被選中”…4分
則P(

.

A

)=

C 1 5

C 1 5 C 1 3 C 1 2

=

1

6

．…6分
所以甲和乙不全被選中的概率為P(A)=1-P(

.

A

)=1-

1

6

=

5

6

…8分
（III）隨機(jī)變量X的可能取值為1，2，3…9分p(X=1)=

C 3 5 + C 3 3

C 3 10

=

11

120

；p(X=2)=

C 2 5 C 1 5 + C 2 3 C 1 7 + C 2 2 C 1 8

C 3 10

=

79

120

；p(X=3)=

C 1 5 C 1 3 C 1 2

C 3 10

=

30

120

…12分
隨機(jī)變量X分布列：

X	1	2	3
p（X）	11 120	79 120	30 120

…13分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率，考查對(duì)立事件的概率公式，考查古典概型的概率公式，隨機(jī)變量的分布列，屬于基礎(chǔ)題