Question

已知二元二次方程2x²+（m-n）xy+（3-n）y²+（4m+3n）x+（7m-2n）y+k=0，
（1）當(dāng)本方程為圓的方程時(shí)，求出m、n的值，和k的取值范圍；
（2）當(dāng)本方程為圓的方程時(shí)，判斷并證明圓與直線(xiàn)l：2x-2y+1=0的關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）由二元二次方程表示圓，得到x²與y²的系數(shù)相等，且xy項(xiàng)系數(shù)為0，求出m與n的值，把m與n的值代入并把方程配方后得到

37

8

-

k

2

大于0，即可求出m與n的值，及k的取值范圍；
（2）由第一問(wèn)配方得到的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)圓心在直線(xiàn)l上，故直線(xiàn)l與圓的位置是相交．

解答：解：（1）當(dāng)本方程為圓的方程時(shí)，有3-n=2，且m-n=0，
解得：m=n=1，
原方程化為2x²+2y²+7x+5y+k=0，
即（x+

7

4

）²+（y+

5

4

）²=

37

8

-

k

2

，
∴

37

8

-

k

2

＞0，
解得：k＜

37

4

，
則m=n=1，k的取值范圍是k＜

37

4

；
（2）當(dāng)本方程為圓的方程時(shí)，
∴圓心坐標(biāo)為（-

7

4

，-

5

4

），又直線(xiàn)l：2x-2y+1=0，
∴圓心在直線(xiàn)l上，
則直線(xiàn)l與圓的位置關(guān)系是相交．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，二元二次方程構(gòu)成圓的條件，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，熟練掌握二元二次方程構(gòu)成圓的條件是解本題的關(guān)鍵．