Question

已知曲線f（x）=x³+bx²+cx在點A（-1，f（-1）），B（3，f（3））處的切線互相平行，且函數f（x）的一個極值點為x=0．
（Ⅰ）求實數b，c的值；
（Ⅱ）若函數y=f(x)，x∈[-

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，3]的圖象與直線y=m恰有三個交點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用條件在點A，B處的切線互相平行，可得f'（-1）=f'（3），利用f（x）的一個極值點為x=0，得到f'（0）=0，聯立方程即可求b，c的值；
（Ⅱ）利用導數求函數在[-

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，3]上的最值和極值，結合圖象確定函數f（x）和y=m的交點情況，從而確定實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數的導數為f'（x）=3x²+2bx+c，
∵f（x）在點A（-1，f（-1）），B（3，f（3））處的切線互相平行，
∴f'（-1）=f'（3），
即3-2b+c=27+6b+c，整理得8b=-24，解得b=-3．
∵函數f（x）的一個極值點為x=0．
∴f'（0）=0，即f'（0）=c，解得c=0，
∴實數b，c的值分別為b=-3，c=0．
（Ⅱ）f（x）=x³+bx²+cx=f（x）=x³-3x²，f'（x）=3x²-6x=3x（x-2），
由f'（x）=0，解得x=2或x=0，
由f'（x）＞0，解得x＞2或x＜0，此時函數單調遞增．
由f'（x）＜0，解得＜x＜2，此時函數單調遞減．
當x在[-

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，3]上變化時，f'（x）和f（x）的變化如下：

x	- 1 2	（- 1 2 ，0）	0	（0，2）	2	（2，3）	3
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	- 7 8	單調遞增	極大值f（0）=0	單調遞減	極小值f（2）=-4	單調遞增	0

∴由表格可知當x=2時，函數f（x）取得最小值f（2）=-4，
在x=0時，函數取得極大值同時也是最大值f（0）=0．
若函數y=f(x)，x∈[-

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，3]的圖象與直線y=m恰有三個交點，
則-

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≤m＜0，
即實數m的取值范圍是[-

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8

，0）．

點評：本題主要考查導數的應用，利用導數的幾何意義和導數和極值最值之間的關系研究函數的最值和極值，考查學生的運算能力，綜合性較強．利用數形結合是解決此類問題的基本方法和技巧．