Question

已知函數(shù)f(x)=

ax+b

x2+1

在點(diǎn)M(1，f(1))處的切線(xiàn)方程為x-y-1=0．
（I）求f（x）的解析式；
（II）設(shè)函數(shù)g（x）=lnx，證明：g（x）≥f（x）對(duì)x∈[1，+∞）恒成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把切點(diǎn)代入切線(xiàn)方程可得a+b=0，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得f^′（1）=1，又得到關(guān)于a、b的方程，聯(lián)立解出即可．
（Ⅱ）把要證lnx≥

2x-2

x2+1

在[1，+∞）上恒成立，等價(jià)轉(zhuǎn)化為即證x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)h（x）=x²lnx+lnx-2x+2的最小值大于0即可．

解答：（Ⅰ）解：將x=1代入切線(xiàn)方程x-y-1=0，得y=0，∴f（1）=0．
又f(1)=

a+b

2

，化簡(jiǎn)得a+b=0．            
f′(x)=

a(x2+1)-(ax+b)•2x

(1+x2)2

，f′(1)=

2a-2(a+b)

4

=

-2b

4

=

-b

2

=1．   
解得a=2，b=-2，
∴f(x)=

2x-2

x2+1

．  
（Ⅱ）證明：要證lnx≥

2x-2

x2+1

在[1，+∞）上恒成立，
即證（x²+1）lnx≥2x-2在[1，+∞）上恒成立，
即證x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．
設(shè)h（x）=x²lnx+lnx-2x+2，則h′(x)=2xlnx+x+

1

x

-2．
∵x≥1，∴2xlnx≥0，x+

1

x

≥2，即h'（x）≥0．
∴h（x）在[1，+∞）上x(chóng)∈[1，+∞）單調(diào)遞增，h（x）≥h（1）=0
∴g（x）≥f（x）在上恒成立．

點(diǎn)評(píng)：掌握利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線(xiàn)的斜率及求函數(shù)的單調(diào)性是解題關(guān)鍵，必須熟練解出，并學(xué)會(huì)將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．