Question

已知F₁，F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，半焦距為c，直線x=-

a2

c

與x軸的交點為N，滿足

F1F2

=2

NF1

，|

F1F2

|=2，設A、B是上半橢圓上滿足

NA

=λ

NB

的兩點，其中λ∈[

1

5

，

1

3

]．
（1）求橢圓的方程及直線AB的斜率k的取值范圍；
（2）過A、B兩點分別作橢圓的切線，兩切線相交于一點P，試問：點P是否恒在某定直線上運動，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）依據題意聯立方程求得a，b，則拖得方程可得．根據

NA

=λ

NB

判斷出A，B，N三點共線，進而設出直線AB的方程，與橢圓的方程聯立消去x，根據判別式大于0求得k的范圍，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則根據韋達定理，可表示出y₁+y₂和y₁y₂，利用

NA

=λ

NB

求得（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂），聯立方程組消去y₂，求得λ和k的關系，令φ(λ)=

(1+λ)2

λ

進而進行求導，推斷函數的單調性，根據λ的范圍求得k的范圍．
（2）設出P的坐標，進而求得PA的方程，把點A代入，同時代入橢圓的方程，推斷出直線AB的方程，根據其過定點求得x₀，進而推斷出點P恒在直線x=-1上運動．

解答：解：（1）由于

F1F2

=2

NF1

，|

F1F2

|=2，
∴

2c= F1F2 |=2 a2 c -1= NF1 |=1 a2=b2+c2.

解得a²=2，b²=1，從而所求橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．
∵

NA

=λ

NB

，∴A，B，N三點共線，而點N的坐標為（-2，0）．
設直線AB的方程為y=k（x+2），其中k為直線AB的斜率，依條件知k≠0．
由

y=k(x+2) x2 2 +y2=1

消去x得(

1

k

y-2)2+2y2=2，即

2k2+1

k2

y2-

4

k

y+2=0．
根據條件可知

△=( 4 k )2-8• 2k2+1 k2 ＞0 k≠0.

解得0＜|k|＜

2

2

，依題意取0＜k＜

2

2

．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則根據韋達定理，得y1+y2=

4k

2k2+1

，y1y2=

2k2

2k2+1

，
又由

NA

=λ

NB

，得（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂）
，∴

x1+2=λ(x2+2) y1=λy2.

從而

x1+2=λ(x2+2) y1=λy2.

從而

(1+λ)y2= 4k 2k2+1 λ y 2 2 = 2k2 2k2+1 .

消去y₂得

(1+λ)2

λ

=

8

2k2+1

．
令φ(λ)=

(1+λ)2

λ

，λ∈[

1

5

，

1

3

]，則φ′(λ)=(λ+

1

λ

+2)′=1-

1

λ2

=

λ2-1

λ2

．
由于

1

5

≤λ≤

1

3

，所以φ'（λ）＜0．
∴φ（λ）是區間[

1

5

，

1

3

]上的減函數，從而φ(

1

3

)≤φ(λ)≤φ(

1

5

)，
即

16

3

≤φ(λ)≤

36

5

，∴

16

3

≤

8

2k2+1

≤

36

5

，解得

2

6

≤|k|≤

1

2

，而0＜k＜

2

2

，∴

2

6

≤k≤

1

2

．
故直線AB的斜率的取值范圍是[

2

6

，

1

2

]．
（2）設點P的坐標為（x₀，y₀），則可得切線PA的方程是y-y0=-

x1

2y1

(x-x0)，
而點A（x₁，y₁）在此切線上，有y1-y0=-

x1

2y1

(x1-x0)即x₀x₁+2y₀y₁=x₁²+2y₁²，
又∵A在橢圓上，∴有x₀x₁+2y₀y=2，①同理可得x₀x₂+2y₀y₂=2．②
根據①和②可知直線AB的方程為，x₀x+2y₀y=2，而直線AB過定點N（-2，0），∴-2x₀=2?x₀=-1，
因此，點P恒在直線x=-1上運動．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合問題是支撐圓錐曲線知識體系的重點內容，問題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等，而不同的解題途徑其運算量繁簡差別很大，故此類問題能有效地考查考生分析問題、解決問題的能力，平時應作為重點來復習訓練．