Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，曲線（為參數(shù)），其中，在以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線：．

（Ⅰ）若，求與公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

（Ⅱ）若與相交于不同的兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).

【解析】分析：（Ⅰ）若，曲線方程變?yōu)?/span> ，消去參數(shù)可得曲線的普通方程為。曲線：．變?yōu)?/span> ，化簡(jiǎn)可得，變形為，可得曲線的直角坐標(biāo)方程為，聯(lián)立直角坐標(biāo)方程可得，解方程組可得與公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)。（Ⅱ）因?yàn)榍�線（為參數(shù)），經(jīng)過(guò)點(diǎn)，已知，所以求應(yīng)根據(jù)參數(shù)的幾何意義。故將曲線（為參數(shù)），的方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得。因?yàn)?/span>與相交于不同的兩點(diǎn)，所以由可得，。

因?yàn)?/span>是線段的中點(diǎn)，所以，

整理可得，進(jìn)而解得．

詳解：（1）若，曲線的普通方程為，

曲線的直角坐標(biāo)方程為，

由解得

所以與公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)為；

（2）將代入得：

設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為。

由得，，

由，得

得．