Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分別為AB、AC中點．
（Ⅰ）求證：DE‖平面PBC；
（Ⅱ）求證：AB⊥PE；
（Ⅲ）求二面角A-PB-E的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三角形中位線定理可得DE∥BC，進而由線面平行的判定定理得到DE∥平面PBC
（II）連接PD，由等腰三角形三線合一，可得PD⊥AB，由DE∥BC，BC⊥AB可得DE⊥AB，進而由線面垂直的判定定理得到AB⊥平面PDE，再由線面垂直的性質得到AB⊥PE；
（Ⅲ）以D為原點建立空間直角坐標系，分別求出平面PBE的法向量和平面PAB的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角A-PB-E的大小．

解答：解：（Ⅰ）∵D、E分別為AB、AC中點，
∴DE∥BC．
∵DE?平面PBC，BC?平面PBC，
∴DE∥平面PBC．…（4分）
（Ⅱ）連接PD，
∵PA=PB，D為AB中點，
∴PD⊥AB．  …．（5分）
∵DE∥BC，BC⊥AB，
∴DE⊥AB…（6分）
又∵PD∩DE=D，PD，DE?平面PDE
∴AB⊥平面PDE…（8分）
∵PE?平面PDE，
∴AB⊥PE…（9分）
（Ⅲ）∵AB⊥平面PDE，DE⊥AB…（10分）
如圖，以D為原點建立空間直角坐標系，由PA=PB=AB=2，BC=3，
則B（1，0，0），P（0，0，

3

），E（0，

3

2

，0），
∴

PB

=（1，0，-

3

），

PE

=（0，

3

2

，-

3

）．
設平面PBE的法向量

n1

=(x，y，z)，
∴

x- 3 z=0 3 2 y- 3 z=0

令z=

3

得

n1

=(3，2，

3

)…（11分）
∵DE⊥平面PAB，
∴平面PAB的法向量為

n2

=(0，1，0)．…（12分）
設二面角的A-PB-E大小為θ，
由圖知，cosθ=cos＜

n1

，

n2

＞=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

1

2

，
所以θ=60°，
即二面角的A-PB-E大小為60°…（14分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，熟練掌握空間直線與平面位置關系的判定，性質是解答（I）和（II）的關鍵，而（III）的關鍵是建立空間坐標系，將空間角問題轉化為向量夾角問題．