Question

已知，其中a，b，x∈R．若滿足，且f（x）的導函數f'（x）的圖象關于直線對稱．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）+log₂k=0在區間上總有實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中，，我們可以求出函數的解析式，及導函數的解析式（含參數a，b），結合已知中，，導函數f'（x）的圖象關于直線對稱，構造關于a，b的方程組，解方程組，即可求出a，b的值．
（II）若關于x的方程f（x）+log₂k=0在區間上總有實數解，即f（x）=-log₂k有解，求出函數f（x）在區間上的值域B，再根據-log₂k∈B，構造關于k的對數方程，解方程即可求出答案．
解答：解：（Ⅰ）=
由得，①
∵f'（x）=asin2x+bcos2x，又∵f'（x）的圖象關于直線對稱，∴，
∴，即②
由①、②得，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得=
∵，，
∴，f（x）∈[0，3]．
又∵f（x）+log₂k=0有解，即f（x）=-log₂k有解，
∴-3≤log₂k≤0，解得，即．
點評：本題考查的知識點是正弦型函數y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，函數恒成立問題，數量積的坐標表達形式（1）的關鍵是根據已知條件，構造關于a，b的方程組，（2）的關鍵是求出函數f（x）在區間上的值域B．