Question

在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,,、分別為、的中點.

(1)求二面角的余弦值;
(2)求點到平面的距離.

Answer 1

（1）；（2）．

解析試題分析：（1）本題中取中點，將會出現許多垂直，這正是我們解題時需要的結果，由于，則，由于平面平面，則平面，是正三角形，則，有了這些垂直后，就可以建立空間直角坐標系（以為原點，分別為軸），寫出相應點的坐標，計算所需向量的坐標，設分別是二面角的兩個面的法向量，則二面角的余弦值，就等于（或者其相反數，這要通過圖形觀察確定）；（2）設平面的法向量是，則點以平面的距離為．
試題解析：⑴取中點,連結?.∵,,
∴,.∵平面平面,
平面平面,∴平面,∴.  
如圖所示建立空間直角坐標系,則,,,
∴.

∴．
設為平面的一個法向量，
則，
取，則，∴，
又為平面的一個法向量，
，即二面角的余弦值為．
(2)由⑴得,又為平面的一個法向量,,
∴點到平面的距離.
考點：（1）二面角；（2）點到平面的距離．