Question

如圖所示，橢圓C：

x2

b2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)的焦點為F₁（0，c），F₂（0，-c）（c＞0），拋物線x²=2py（p＞0）的焦點與F₁重合，過F₂的直線l與拋物線P相切，切點在第一象限，且與橢圓C相交于A，B兩點，且

F2B

=λ

AF2

．
（1）求證：切線l的斜率為定值；
（2）當λ∈[2，4]時，求橢圓的離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設過F₂的直線l的方程為y+c=kx，與拋物線聯立，利用過F₂的直線l與拋物線P相切，切點E在第一象限，可得結論；
（2）由（1），可得直線l的方程為y=x-c，代入橢圓方程，利用韋達定理及向量知識，確定離心率的表達式，即可得到結論．

解答：（1）證明：∵橢圓C：

x2

b2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)的焦點為F₁（0，c），F₂（0，-c）（c＞0），拋物線P：x²=2py（p＞0）的焦點與F₁重合，
∴

p

2

=c，∴拋物線P：x²=4cy．
設過F₂的直線l的方程為y+c=kx，與拋物線聯立，可得x²-4kcx+4c²=0，
∵過F₂的直線l與拋物線P相切，切點E在第一象限，
∴△=16k²c²-16c²=0，k＞0
∴k=1，即切線l的斜率為定值；
（2）解：由（1），可得直線l的方程為y=x-c，代入橢圓方程可得（a²+b²）x²-2b²cx+b²c²-a²b²=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

2b2c

a2+b2

①，x1x2=

b2(c2-a2)

a2+b2

②
∵

F2B

=λ

AF2

∴x₂=-λx₁③
由①②③可得

e2

2-e2

=

1

4

(λ+

1

λ

)-

1

2

∵f（λ）=

1

4

(λ+

1

λ

)-

1

2

，當λ∈[2，4]時，單調遞增，
∴f（λ）∈[

1

8

，

9

16

]
∴

1

8

≤

e2

2-e2

≤

9

16

∵0＜e＜1
∴橢圓的離心率e的取值范圍是[

2

3

，

3 2

5

]．

點評：本題考查切線斜率為定值的求法，考查橢圓離心率取值范圍的求法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．