Question

選作題，本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區域內作答．若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．（幾何證明選講）
如圖，AB是半圓的直徑，C是AB延長線上一點，CD切半圓于點D，CD=2，DE⊥AB，垂足為E，且E是OB的中點，求BC的長．
B．（矩陣與變換）
已知矩陣的屬于特征值b的一個特征向量為，求實數a、b的值．
C．（極坐標與參數方程）
在平面直角坐標系xOy中，已知點A（1，-2）在曲線（t為參數，p為正常數），求p的值．
D．（不等式選講）
設a₁，a₂，a₃均為正數，且a₁+a₂+a₃=1，求證：．

Answer 1

【答案】分析：A、連接OD，則OD⊥DC，先確定∠ODE=30°，再在Rt△ODC中，可求BC的長；
B．根據二階矩陣的特征值與特征向量的概念，建立方程組，即可求得結論；
C．化參數方程為普通方程，將點A（1，-2）代入，即可求得p的值；
D．a₁，a₂，a₃均為正數，且a₁+a₂+a₃=1＞0，利用基本不等式即可證明．
解答：A、解：連接OD，則OD⊥DC，
在Rt△OED中，OB=OD，所以∠ODE=30°，
在Rt△ODC中，∠DCO=30°，由DC=2得OD=DCtan30°=，
所以BC=．
B．解：由二階矩陣的特征值與特征向量的概念知=，
所以，解得a=1，b=3．
C．解：由（t為參數，p為正常數），消去參數t得y²=2px，將點A（1，-2）代入y²=2px得p=2．

D．證明：因為a₁，a₂，a₃均為正數，且a₁+a₂+a₃=1＞0，
所以=，
當且僅當時等號成立，
所以．
點評：本題是選考內容．A．主要考查三角形、圓的有關知識，考查推理論證、運算求解能力；B\主要考查二階矩陣的特征值與特征向量，考查運算求解能力；C主要考查參數方程，考查運算求解能力；D主要考查證明不等式的基本方法，考查推理論證能力．