Question

已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為

5

3

，焦點(diǎn)F₁、F₂在x軸上，橢圓G上一點(diǎn)N到F₁和F₂的距離之和為6．
（1）求橢圓G的方程；
（2）若∠F₁NF₂=90°，求△NF₁F₂的面積；
（3）若過點(diǎn)M（-2，1）的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓的方程，利用橢圓的定義得到2a=6，再利用橢圓的離心率公式列出關(guān)于a，c的方程，求出c，利用橢圓中的三個(gè)參數(shù)的關(guān)系求出b，寫出橢圓的方程．
（2）利用直角三角形的勾股定理及橢圓的定義得到關(guān)于|NF₁|，|NF₂|的方程，求出|NF₁|•|NF₂|的值，利用直角三角形的面積公式求出△NF₁F₂的面積．
（3）設(shè)出直線的方程，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的二次方程，利用韋達(dá)定理得到相交弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，列出方程求出直線的斜率，得到直線的方程．

解答：解：（1）設(shè)橢圓G的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）半焦距為c．
則

2a=6 c a = 5 3

，
解得

a=3 c= 5

，
∴b²=a²-c²=9-5=4
所以橢圓G的方程為

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）若∠F₁NF₂=90°，
則在Rt△NF₁F₂中，|NF₁|²+|NF₂|²=|F₁F₂|²=20．
又因?yàn)閨NF₁|+|NF₂|=6
解得|NF₁|•|NF₂|=8，
所以S△NF1F2=

1

2

|NF1|•|NF2|=4
（3）設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），M的坐標(biāo)為（-2，1），
當(dāng)k不存在時(shí)，A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱顯然不可能．
從而可設(shè)直線l的方程為y=k（x+2）+1，
代入橢圓G的方程得（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0，
△=（36k²+18k）²-4（4+9k²）（36k²+36k-27）=16×9（5k²-4k+3）
=16×45[(k-

2

5

)2+

11

25

]＞0
因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，
所以

x1+x2

2

=-

18k2+9k

4+9k2

=-2，解得k=

8

9

，
所以直線l的方程為y=

8

9

(x+2)+1，
即8x-9y+25=0（經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意）．

點(diǎn)評(píng)：求圓錐曲線的方程，一般利用待定系數(shù)法；解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般設(shè)出直線方程，將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的二次方程，利用韋達(dá)定理，找突破口．注意設(shè)直線方程時(shí)，一定要討論直線的斜率是否存在．