Question

對(duì)于數(shù)列{a_n}，定義數(shù)列{b_m}如下：對(duì)于正整數(shù)m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）設(shè){a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，若a₃=4，則b₄=

 

；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n-1，n∈N^*，則數(shù)列{b_m}的通項(xiàng)是

 

．

Answer 1

分析：利用新定義數(shù)列{b_m}如下：對(duì)于正整數(shù)m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值可以直接求解．（Ⅰ）由題意a_n≥4的最小的n為3，也就是 b₄=3．（Ⅱ）滿足a_n≥m的最小的n為[

m+1

2

+

1

2

]=[

m

2

]+1（其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)）．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?{a_n}單調(diào)遞增，所以，當(dāng)n＞3時(shí)，a_n＞4，當(dāng)n=3時(shí)，a_n=4；
所以，a_n≥4的最小的n為3，也就是 b₄=3．
（Ⅱ）設(shè)a_n≥m，則2n-1≥m，n≥

m+1

2

，
所以，滿足a_n≥m的最小的n為[

m+1

2

+

1

2

]=[

m

2

]+1（其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)）；
即b_m=[

m

2

]+1，即當(dāng)m是奇數(shù)時(shí)，bm=

m+1

2

，當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)bm=

m+2

2

故答案為3；bm =

m+1 2 ，m是奇數(shù) m+2 2 ，m是偶數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的基本性質(zhì)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法．本題是數(shù)列與不等式綜合的較難層次題．