已知函數
（1）判定并證明函數的奇偶性；
（2）試證明
在定義域內恒成立；
（3）當
時，
恒成立，求m的取值范圍.
（1）偶函數，（2）詳見解析，（3）
.
解析試題分析：（1）判定函數的奇偶性，首先判定定義域是否關于原點對稱，定義域為：
關于原點對稱，其次研究
與
的相等或相反的關系：
所以為偶函數，（2）由于函數為偶函數，所以只需證明
時，當時，
，，
恒成立，當
時，所以
，由（1）可知：
，綜上所述，在定義域內恒成立（3）恒成立問題一般利用變量分離法轉化為最值問題. 恒成立對恒成立，∴
，∴
，令
可證在[1,3]上為減函數 ∴
對恒成立 ∴
，所以m的取值范圍是.
試題解析：解：（1）為偶函數，證明如下：定義域為：關于原點對稱，
對于任意
有： 2分
成立
所以為偶函數 5分
（2）因為定義域為：，
當時，，，恒成立， 7分
當時，所以，由（1）可知： 9分
綜上所述，在定義域內恒成立 10分
（3）恒成立對恒成立，
∴ ，∴ ，令
證明在[1,3]上為減函數（略）（不證明單調性扣2分）
∴
對恒成立 12分
∴
所以m的取值范圍是 14分
考點：函數奇偶性，函數單調性
特高級教師點撥系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（滿分16分）已知函數
，其中
是自然對數的底數.
（1）證明：
是
上的偶函數；
（2）若關于
的不等式
在
上恒成立，求實數
的取值范圍；
（3）已知正數
滿足：存在
，使得
成立，試比較
與
的大小，并證明你的結論.
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（
為常數,
且
）的圖象過點
.
,試判斷函數
的奇偶性,并說明理由
．
在其定義域內是增函數，求b的取值范圍；
，若函數
在 [1，3]上恰有兩個不同零點，求實數
的取值范圍．
上函數
為奇函數．
的值；
的值域．
在區間
上單調遞減，求
的取值范圍；
時，
恒成立，求
的最大值及此時
有最大值，
的單調區間．
的圖象關于原點對稱，則
________________．