Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設F為橢圓C的左焦點，T為直線x=﹣3上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q．
①證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標原點）；
②當 最小時，求點T的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意有 解得

所以橢圓C的標準方程為 + =1

（2）解：設T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中點為N（x0，y0），

①證明：由F（﹣2，0），可設直線PQ的方程為x=my﹣2，則PQ的斜率 ．

由 （m2+3）y2﹣4my﹣2=0，

所以 ，

于是 ，從而 ，

即 ，則直線ON的斜率 ，

又由PQ⊥TF知，直線TF的斜率 ，得t=m．

從而 ，即kOT=kON，

所以O，N，T三點共線，從而OT平分線段PQ，故得證．

②由兩點間距離公式得 ，

由弦長公式得 = = ，

所以 ，

令 ，則 （當且僅當x2=2時，取“=”號），

所以當 最小時，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此時點T的坐標為（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．

【解析】第（1）問中，由正三角形底邊與高的關系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程組求得a2 ， b2；第（2）問中，先設點的坐標及直線PQ的方程，利用兩點間距離公式及弦長公式將 表示出來，由 取最小值時的條件獲得等量關系，從而確定點T的坐標
【考點精析】掌握橢圓的標準方程是解答本題的根本，需要知道橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．