Question

已知函數f（x）=aln（x+1）+（x+1）²在x=1處有極值．
（1）求實數a值；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）試問是否存在實數m，使得不等式m²+tm+e²-14≤f（x）對任意x∈[e-1，e]及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．（e=2.71828…）

Answer 1

分析：（1）先求出f′（x），因為函數在x=1處有極值，所以得f′（1）=0，代入求出a的值即可；
（2）把a的值代入到f（x）中，求出導函數=0時x的值，在函數的自變量的范圍中令導函數大于0，求出x的范圍即為函數的增區間，令導函數小于0，求出x的范圍即為函數的減區間；
（3）根據1＜e-1得到f'（x）＞0，所以x∈[e-1，e]時，f（x）_min=f（e-1），讓m²+tm+e²-14≤f（e-1），t∈[-1，1]恒成立，化簡后令g（t）=m²+mt-6，得到g（-1）≤0，g（1）≤0，解出解集求出m的范圍即可．

解答：解：（1）因為f（x）=aln（x+1）+（x+1）²，
所以f′(x)=

a

x+1

+2x+2．
由f′（1）=0，可得

a

2

+2+2=0，a=-8．
經檢驗a=-8時，函數f（x）在x=1處取得極值，
所以a=-8．

（2）f（x）=-8ln（x+1）+（x+1）²，f′(x)=

-8

x+1

+2x+2=

2(x-1)(x+3)

x+1

．
而函數f（x）的定義域為（-1，+∞），
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如表：

由表可知，f（x）的單調減區間為（-1，1），f（x）的單調減區間為（1，+∞）．

（3）∵1＜e-1，∴f'（x）＞0，x∈[e-1，e]時，f（x）_min=f（e-1）=-8+e²
不等式m²+tm+e²-14≤f（x）對任意x∈[e-1，e]及t∈[-1，1]恒成立，
即m²+tm+e²-14≤f（x）_min?m²+tm+e²-14≤-8+e²，
即m²+tm-6≤0對t∈[-1，1]恒成立，
令g（t）=m²+mt-6，?g（-1）≤0，g（1）≤0?

m2+m-6≤0 m2-m-6≤0

，
解得-2≤m≤2為所求．

點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，利用導數研究函數的單調性的能力，以及理解函數恒成立時所取的條件．