Question

【題目】已知焦點在軸上的橢圓上的點到兩個焦點的距離和為10，橢圓經過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過橢圓的右焦點作與軸垂直的直線，直線上存在、兩點滿足，求△面積的最小值；

（3）若與軸不垂直的直線交橢圓于、兩點，交軸于定點，線段的垂直平分線交軸于點，且為定值，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）9；（3）.

【解析】

（1）求出，，直接求出橢圓方程；

（2）設，，，由，所以，代入三角形面積公式，由基本不等式求出即可；

（3）設出直線為：，聯立解方程組，用，表示出點，，，由為定值，求出當，求出的坐標．

（1）設橢圓的方程為，橢圓上的點到兩個焦點的距離和為10，所以，，

又橢圓經過點，代入橢圓方程，求得，

所以橢圓的方程為：；

（2）設，，，

由，所以，

，故面積的最小值為9；

（3）設直線的方程為：，則點，

聯立，消去得，

，，

所以，

則的中點的坐標為，又，得，

則直線的方程為：，

令，得點的坐標為，則，

所以，

當且僅當時，比值為定值，此時點，為，

故或．