Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)，．

（Ⅰ） 求函數(shù)在點(diǎn)(1，)處的切線方程；

（II） 若函數(shù)與在區(qū)間上均為增函數(shù),求的取值范圍；

（Ⅲ） 若方程有唯一解,試求實(shí)數(shù)的值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（II）

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)原方程有唯一解的充要條件是

【解析】解：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052322471671877152/SYS201205232248586406384945_DA.files/image005.png">,所以切線的斜率…………………2分

又,故所求切線方程為,即…………………4分

（II）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052322471671877152/SYS201205232248586406384945_DA.files/image009.png">,又x>0,所以當(dāng)x>2時(shí),；當(dāng)0<x<2時(shí), ．

即在上遞增,在（0,2）上遞減………………………………5分

又,所以在上遞增,在上遞減……………6分

欲與在區(qū)間上均為增函數(shù),則,

解得…………8分

（Ⅲ） 原方程等價(jià)于,令,則原方程即為．

因?yàn)楫?dāng)時(shí)原方程有唯一解,所以函數(shù)與的圖象在y軸右側(cè)有唯一的交點(diǎn)

……………10分

又, 且x>0,所以當(dāng)x>4時(shí),；

當(dāng)0<x<4時(shí), ．

即在上遞增,在（0,4）上遞減．

故h（x）在x=4處取得最小值

從而當(dāng)時(shí)原方程有唯一解的充要條件是……………12分