Question

已知A、B是球O表面上兩點(diǎn)，AB=8．過(guò)AB作兩個(gè)平面α、β，使球心O在平面α上，且O到平面β的距離為2

3

．如果二面角α-AB-β=60°，那么A、B兩點(diǎn)的球面距離為（　　）

• A、2

  2

  π
• B、

  2

  π
• C、

  π

  2

• D、

  5π

  2

Answer 1

分析：由已知中A、B是球O表面上兩點(diǎn)，AB=8．過(guò)AB作兩個(gè)平面α、β，使球心O在平面α上，作OO₁⊥β，O₁為垂足，取AB中點(diǎn)C，連接OC，O₁C，易得∠O₁CO是二面角α-AB-β的平面角，結(jié)合已知中，O到平面β的距離為2

3

，二面角α-AB-β=60°，我們易求出球的半徑，易弦AB的球心角，代入弧長(zhǎng)公式，即可求出答案．

解答：解：作OO₁⊥β，O₁為垂足，取AB中點(diǎn)C，連接OC，O₁C，
則OC⊥AB，O₁C⊥AB，
∠O₁CO是二面角α-AB-β的平面角，
所以∠O₁CO=60°．
在Rt△OO₁C中，
∵O到平面β的距離為2

3

．
∴OO₁=2

3

，OC=4．
連接OA、OB，由OC=AC=BC=4得∠AOB=

π

2

．
又球的半徑OA=4

2

，所以A、B兩點(diǎn)間的球面距離為4

2

×

π

2

=2

2

π
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題考查球的截面及性質(zhì)，球面距離，二面角等知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力．求球面上兩點(diǎn)間的球面距離時(shí)，必須先 找出這兩點(diǎn)對(duì)球心所張的圓心角．