Question

已知曲線C的極坐標方程為，直線的參數方程為(t為參數，0≤＜).
(Ⅰ)把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，并說明曲線C的形狀；
(Ⅱ)若直線經過點(1,0)，求直線被曲線C截得的線段AB的長.

Answer 1

（Ⅰ），曲線C是頂點為，焦點為的拋物線；(Ⅱ)8.

解析試題分析：（Ⅰ）根據極坐標和直角坐標的關系得直角坐標方程；(Ⅱ)方法1：由已知條件求直線的參數方程，代入曲線C的方程，得關于參數的二次方程，可利用求得長度；方法2：先把直線的方程化為普通方程，再與曲線C聯立求交點坐標，既得所求.
試題解析：（Ⅰ）方程兩邊同乘，得，把代入上式，得
，這就是曲線C的直角坐標方程，曲線C是頂點為，焦點為的拋物線.    3分
（Ⅱ）方法1：直線（為參數，）經過點，若直線又經過點，則
，直線的參數方程為（為參數），代入曲線C的方程
，得整理得. ①
設直線與曲線C的交點A、B對應的參數分別為，則是方程①的兩個實根，于是，直線被曲線C截得的線段AB的長為.      7分
方法2：設直線的普通方程為，若直線經過點，則，即，
的方程為，解方程組，得或，即A、B兩點的坐標分別為，于是直線被曲線C截得的線段AB的長為
.        7分
考點：1、極坐標與直角坐標的互化；2、參數方程；3、直線被曲線所截線段的求法.