Question

有下列四個命題，其中真命題有（　　）
①{a_n}為等比數列，則a₁+a₅≤a₂+a₄；
②{a_n}為等差數列，則a₁•a₅≤a₂•a₄；
③對任意α，β，都有sin（α+β）sin（α-β）=sin²α-sin²β；
④對任意α，β，都有cos（α+β）≠cosα+cosβ．

A．①②

B．②③

C．②④

D．③④

Answer 1

分析：通過給變量取特殊值，舉反例可得①④不正確，根據 a₂•a₄ -a₁•a₅ =3d²≥0，可得②正確．
利用兩角和的正弦公式、同角三角函數基本關系化簡sin（α+β）sin（α-β）=sin²α-sin²β，故③正確．

解答：解：①不正確，如 a_n =

1

2n-1

 時，a₁+a₅ =

17

16

，a₂+a₄ =

5

8

．
②正確，因為 a₂•a₄ -a₁•a₅ =3d²≥0．
③正確，因為sin（α+β）sin（α-β）=（sinαcosβ+cosαsinβ）（sinαcosβ-cosαsinβ）
=sin²αcos²β-cos²αsin²β=sin²α（1-sin²β）-（1-sin²α）sin²β=sin²α-sin²β．
④不正確，如α  = 

π

3

 ， β =-

π

3

 時，cos（α+β）=1，cosα+cosβ=

1

2

+

1

2

=1．
故②③正確，①④不正確．
故選B．

點評：本題主要考查等差數列的定義和性質、等比數列的定義和性質，兩角和的正弦公式．通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法．