Question

某計算機程序每運行一次都隨機出現一個五位的二進制數A=，其中A的各位數中，a₁=1，a_k（k=2，3，4，5）出現0的概率為

1

3

，出現1的概率為

2

3

．記X=a₂+a₃+a₄+a₅，當程序運行一次時，X的數學期望Eξ=（　　）

• A、

  8

  27

• B、

  16

  81

• C、

  8

  3

• D、

  65

  81

Answer 1

分析：由題意知X的可能取值是0，1，2，3，4，結合變量對應的事件和獨立重復試驗公式做出概率，（以X=3為例，當X=3時，表示四個數字中恰好出現了3個1）算出期望．

解答：解：由題意知X的可能取值是0，1，2，3，4，
當X=0時，表示這四個數字都是0，P（X=0）=(

1

3

)4=

1

81

，
當X=1時，表示四個數字中有一個1，P（X=1）=

C

1 4

×(

1

3

)3×

2

3

=

8

81

P（X=2）=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2=

24

81

P（X=3）=

C

3 4

(

2

3

)3×

1

3

=

32

81

P（X=4）=C₄⁴(

2

3

)4=

16

81

∴EX=1×

8

81

+2×

24

81

+3×

32

81

+4×

16

81

=

216

81

=

8

3

，
故選C．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查二進位制，考查獨立重復試驗的概率公式，是一個綜合題，解題的關鍵是讀懂題意．