Question

已知數列{a_n}滿足S_n=n-a_n
（1）a₁，a₂，a₃，a₄的值，并猜想{a_n}的通項公式
（2）用數學歸納法證明（1）中的猜想
（3）（文科做）設z∈Z，z+2i，

z

2-i

都是實數，求3z-z²（

.

z

是z的共軛復數）

Answer 1

分析：（1）根據S_n=n-a_n，利用遞推公式，求出a₁，a₂，a₃，a₄．
（2）總結出規律求出a_n，然后利用歸納法進行證明，檢驗n=1時等式成立，假設n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立．
（3）設出復數Z利用兩個復數都是實數，求出復數Z，然后化簡求解3z-z²即可．

解答：解：（1）由a₁=1-a₁，得a₁=

1

2

，
由a₁+a₂=2-a₂，得a₂=

3

4

，
由a₁+a₂+a₃=3-a₃，得a₃=

7

8

，
由a₁+a₂+a₃+a₄=4-a₄，得a₄=

15

16

，
猜想a_n=

2n-1

2n

（2）證明：①當n=1，由上面計算可知猜想成立，
②假設n=k時猜想成立，即a_k=

2k-1

2k

，
此時S_k=k-a_k=k-

2k-1

2k

，
當n=k+1時，S _k+1=（k+1）-a _k+1，得S_k+a_k+1=（k+1）-a_k+1，
因此a_k+1=

1

2

[（k+1）-S_k]=k+1-

1

2

（k-

2k-1

2k

）=

2k+1-1

2k+1

，
∴當n=k+1時也成立，
∴a_n=

2n-1

2n

（n∈N⁺）．
（3）設復數Z=a+bi，（a，b∈R）．
因為z+2i，

z

2-i

都是實數，
所以a+bi+2i是實數，所以b=-2．

a-2i

2-i

=

(a-2i)(2+i)

(2-i)(2+i)

=

2a+2+(a-4)i

5

，所以a=4．
則3z-z²=3（4-2i）-（4-2i）²=12-6i-16+16i+4=10i．

點評：此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個步驟：（1）驗證n=1成立；（2）假設n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證，這是數列的通項一種常用求解的方法．文科題目，考查復數的代數形式的混合運算，復數的基本概念，基本知識的考查．