Question

通過研究學生的學習行為，心理學家發現，學生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間．授課開始時，學生的興趣激增，中間有一段不太長的時間，學生的興趣保持較理想的狀態，隨后學生注意力開始分散．分析結果和實驗表明，用f（x）表示學生掌握和接受概念的能力，x表示提出和講授概念的時間（單位：分），可有以下的關系：f（x）=

-0.1x2+2.6x+43(0＜x≤10) 59                            (10＜x≤16) -2x+91                 (16＜x≤40)

（1）開講后多少分鐘，學生的接受能力最強？這個強度可以持續多長時間？
（2）開講后5分鐘與開講后20分鐘比較，學生的接受能力何時強一些？
（3）一道數學難題，需要55的接受能力以及13分鐘的時間，老師能否及時在學生一直達到所需接受能力的狀態下講授完？

Answer 1

分析：（1）求學生的接受能力最強其實就是要求分段函數的最大值，方法是分別求出各段的最大值取其最大即可．
（2）比較5分鐘和15分鐘學生的接受能力何時強，方法是把x=5代入第一段函數中，而x=15要代入到第二段函數中，比較大小即可．不同的自變量代入相應的解析式才能符合要求．
（3）考查分段函數圖象和增減性，令f（x）=55，第一段函數解得x=6，第三段函數解得x=18，關鍵是從圖象上知道6＜x＜18時，f（x）＞55，然后求出兩個時間之差就是持續的時間，最后和13分鐘比較大小即可．

解答：解：（1）當0＜x≤10時，f（x）=-0.1x²+2.6x+43
為開口向下的二次函數，對稱軸為x=13
故f（x）的最大值為f（10）=59
當10＜x≤16時，f（x）=59
當x＞16時，f（x）=-2x+91為減函數，且f（x）＜59
因此，開講10分鐘后，學生達到最強接受能力（為59），能維持6分鐘時間．（5分）
（2）∵當0＜x≤10時，f（x）=-0.1x²+2.6x+43
∴f（5）=-0.1×5²+2.6×5+43=53.5；
∵當x＞16時，f（x）=-2x+91，
∴f（20）=51．
故開講20分鐘時學生的接受能力比開講5分鐘時要弱一些．（8分）
（3）令f（x）=55解得x=6或x=18，
且當6≤x≤18時，f（x）≥55
因此學生達到（含超過）55的接受能力的時間為18-6=12＜13，
故老師能在學生一直達到所需接受能力的狀態下講授完這個難題．（12分）．

點評：本題考查的是分段函數的基本知識及分段函數圖象增減性的應用．解題時學生容易出錯，原因是學生把分段函數定義理解不清，自變量取值不同，函數解析式不同是分段函數最顯著的特點．