Question

如圖，有一塊半橢圓形的鋼板，其長半軸長為2r，短半軸長為r，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上，則梯形ABCD的面積S的最大值為

 

．

Answer 1

分析：由題意可得橢圓的方程，求出其參數方程，然后由題意得出梯形的高與上底面的長度公式求出面積即可．

解答：解：以AB所在直線為 X軸，其垂直平分線為Y軸建系，則橢圓的參數方程為方程為x=rcosθ，y=2rsinθ，在圖形中取AB中點O，連接OC，令角COB為θ
則下底邊長為2r，上底邊長為2rcosθ，高為2rsinθ，
故梯形的面積為S=

2r+2rcosθ

2

×2rsinθ=2r²（sinθ+sinθcosθ）
S′=2r²（2cos²θ+cosθ-1），令S′=0，得cosθ=

1

2

，故sinθ=

3

2

即當cosθ=

1

2

時，面積最大最大值為

3 3

2

r2
故答案為

3 3

2

r2

點評：本題考查根據實際問題選擇函數類型，根據圖形及題設本題選擇了用橢圓的參數方程表示變量，給建立函數模型帶來了方便，解題時要注意綜合利用知識，尤其是在函數的應用題中，建立恰當的函數模型是求解的關鍵．