Question

如圖，A是拋物線x²=4y上異于原點的任意一點，F為拋物線的焦點，l為拋物線在A點處的切線，點B、C在拋物線上，AB⊥l且交y軸于M，點A、F、C三點共線，直線BC交y軸于N．
（1）求證：|AF|=|MF|；
（2）求|MN|的最小值．

Answer 1

分析：（1）設A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），求出直線l的斜率，可得AB的斜率，從而可得直線AB的方程，令x=0，確定M的坐標，從而可得|MF|=y₀+1，由拋物線的定義可得|AF|=y₀+1，則可得結論；
（2）先確定BC的斜率，進而可得BC的方程，進一步確定N的坐標，可得|MN|，利用基本不等式，可得|MN|的最小值．

解答：（1）證明：設A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∵x²=4y，∴y=

1

4

x2，∴y′=

1

2

x，∴直線l的斜率k₁=

x0

2

∵AB⊥l，∴k_AB=-

2

x0

，∴直線AB的方程為y-y₀=-

2

x0

（x-x₀）
令x=0，則y=y₀+2，∴M（0，y₀+2）
∵F（0，1），∴|MF|=y₀+1
由拋物線的定義可得|AF|=y₀+1，
∴|AF|=|MF|；
（2）解：直線AB的方程代入拋物線方程，消去y可得

1

4

x²+

2

x0

x-2-y₀=0
∴x₁+x₀=-

8

x0

，∴x₁=-x₀-

8

x0

設直線AC：y=kx+1代入拋物線方程，消去y可得x²-4kx-4=0，∴x₀x₂=-4，∴x₂=-

4

x0

∴k_BC=-

x0

4

-

3

x0

，∴直線BC的方程為y-y₂=（-

x0

4

-

3

x0

）（x-x2）
令x=0得y=（-

x0

4

-

3

x0

）（-x₂）+y₂，代入x₂=-

4

x0

，y₂=

4

x 2 0

，化簡得y=-1-

8

x 2 0

∴N（0，-1-

8

x 2 0

），∴|MN|=y₀+2+1+

8

x 2 0

=

x 2 0

4

+

8

x 2 0

3≥3+2

2

當且僅當x₀⁴=32時等號成立，
∴|MN|的最小值為3+2

2

．

點評：本題考查拋物線的定義，考查直線方程的求解，考查直線與拋物線的位置關系，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．