Question

已知函數(shù)f（x）=|x+1|+ax（a∈R）．若函數(shù)f（x）在 R 上具有單調(diào)性，則a的取值范圍為________．

Answer 1

（-∞，-1）∪（1，+∞）
分析：先化簡f（x）=，再分類討論：①a＞1時或a＜-1時，②a=1或-1時，③-1＜a＜1時，最后研究函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性即可．
解答：原函數(shù)式化簡得：f（x）=．
①a＞1時，
當(dāng)x≥-1時，f（x）=（a+1）x+1是增函數(shù)，且f（x）≥f（-1）=-a；
當(dāng)x＜-1時，f（x）=（a-1）x-1是增函數(shù)，且f（x）＜f（-1）=-a．
所以，當(dāng)a＞1時，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
同理可知，當(dāng)a＜-1時，函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)．（6分）
②a=1或-1時，易知，不合題意．
③-1＜a＜1時，取x=0，得f（0）=1，取x=，由＜-1，知f（）=1，
所以f（0）=f（）．
所以函數(shù)f（x）在R上不具有單調(diào)性．（10分）
綜上可知，若函數(shù)f（x）在 R 上具有單調(diào)性，則a的取值范圍是（-∞，-1）∪（1，+∞）．（12分）
故答案為：（-∞，-1）∪（1，+∞）．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，以及利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍．屬于中檔題．考查了分類討論的思想及判斷推理的能力