Question

【題目】已知函數的定義域為，設，.

（Ⅰ）試確定t的取值范圍，使得函數在上為單調函數；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求證：對于任意的，總存在，滿足，又若方程在上有唯一解，請確定t的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）求導得，從而可得在，上遞增，在上遞減，從而確定的取值范圍；

（Ⅱ）借助（Ⅰ）可知，在處取得極小值，求出，則在，上的最小值為，從而得證；

（Ⅲ）化簡，從而將化為，令，則證明方程在上有解，并討論解的個數；由二次函數的性質討論即可．

（Ⅰ）因為，

令，得：或；令，得：

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

要使在為單調函數，則

所以的取值范圍為

（Ⅱ）證：因為在上單調遞增，在上單調遞減，所以在處取得極小值.

又，所以在的最小值為，

從而當時，，即 .

（Ⅲ）證：因為，所以，即為

令，從而問題轉化為證明方程在上有解，

并討論解的個數，因為，

當或時，，所以在上有解，且只有一解.

②當時，且，但由于，所以在上有解，且有兩解

③當時，由得：或，在上有且只有一解；

當時，由得：或，所以在上也只有一解

綜上所述，對任意的，總存在，滿足

當方程在上有唯一解，的取值范圍為