Question

已知函數f（x）=ax²+bx+c（a＞0且bc≠0）．
（1）若|f（0）|=|f（1）|=|f（-1）|=1，試求f（x）的解析式；
（2）令g（x）=2ax+b，若g（1）=0，又f（x）的圖象在x軸上截得的弦的長度為l，且0＜|x₁-x₂|≤2，試確定c-b的符號．

Answer 1

分析：（1）由|f（0）|=|f（1）|=|f（-1）|=1，我們可以構造關于a，b，c的方程，結合二次函數的性質，解方程即可得到函數f（x）的解析式；
（2）聯立兩個函數的解析式，結合韋達定理，我們可表示出|x₁-x₂|，結合0＜|x₁-x₂|≤2，及a＞0且bc≠0等條件，我們可以構造關于a，b，c的不等式，解不等式即可得到答案．

解答：解：（1）由已知|f（1）|=|f（-1）|，有|a+b+c|=|a-b+c|，（a+b+c）²=（a-b+c）²，可得4b（a+c）=0．
∵bc≠0，∴b≠0．∴a+c=0．
又由a＞0有c＜0．
∵|c|=1，于是c=-1，則a=1，|b|=1．
∴f（x）=x²±x-1．
（2）g（x）=2ax+b，由g（1）=0有2a+b=0，b＜0．
設方程f（x）=0的兩根為x₁、x₂．
∴x₁+x₂=-

b

a

=2，x₁x₂=

c

a

．
則|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4-4 c a

．
由已知0＜|x₁-x₂|≤2，
∴0≤

c

a

＜1．
又∵a＞0，bc≠0，
∴c＞0．
∴c-b＞0．

點評：本題考查的知識點是一元二次不等式的應用，函數解析式的求法，二次函數的性質，根據已知條件，結合二次函數的性質，將已知條件轉化為關于a，b，c的方程（或不等式）是解答本題的關鍵．