Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面BB1C1C為菱形，B1C的中點為O，且AO⊥平面BB1C1C．
（1）證明：B1C⊥AB；
（2）若AC⊥AB1 ， ∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BC1，則O為B1C與BC1的交點，

∵側面BB1C1C為菱形，

∴BC1⊥B1C，

∵AO⊥平面BB1C1C，

∴AO⊥B1C，

∵AO∩BC1=O，

∴B1C⊥平面ABO，

∵AB平面ABO，

∴B1C⊥AB

（2）解：作OD⊥BC，垂足為D，連接AD，作OH⊥AD，垂足為H，

∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD=O，

∴BC⊥平面AOD，

∴OH⊥BC，

∵OH⊥AD，BC∩AD=D，

∴OH⊥平面ABC，

∵∠CBB1=60°，

∴△CBB1為等邊三角形，

∵BC=1，∴OD= ，

∵AC⊥AB1，∴OA= B1C= ，

由OHAD=ODOA，可得AD= = ，∴OH= ，

∵O為B1C的中點，

∴B1到平面ABC的距離為 ，

∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高 ．

【解析】（1）連接BC1 ， 則O為B1C與BC1的交點，證明B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AB；（2）作OD⊥BC，垂足為D，連接AD，作OH⊥AD，垂足為H，證明△CBB1為等邊三角形，求出B1到平面ABC的距離，即可求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面垂直的性質(垂直于同一個平面的兩條直線平行)．