Question

已知等差數列{a_n}的前n項和S_n能取到最大值，且滿足：a₉+3a₁₁＜0，a₁₀?a₁₁＜0，對于以下幾個結論：
①數列{a_n}是遞減數列；    
②數列{S_n}是遞減數列；
③數列{S_n}的最大項是S₁₀； 
④數列{S_n}的最小的正數是S₁₉．
其中正確的結論的個數是（　　）

• A、0個
• B、1個
• C、2個
• D、3個

Answer 1

分析：由前n項和S_n有最大值，可得數列{a_n}為遞減數列，故①正確；設等差數列數列{a_n}的公差為d，可得2a₁+19d＜0，可得a₁₀+a₁₁＜0，結合a₁₀•a₁₁＜0，可得a₁₀＞0，a₁₁＜0，故③正確；又可得-9d＜a₁＜-

19

2

d．令 S_n＞0，且 S_n+1≤0，解不等式組可得19≤n≤19，∴n=19，故④正確；由二次函數的性質可得②錯誤．

解答：解：由前n項和S_n有最大值，可得數列{a_n}為遞減數列，故①正確；
設等差數列數列{a_n}的公差為d，則有a₉+3a₁₁=4a₁+38d＜0，
化簡可得2a₁+19d＜0，可得a₁＜-

19

2

d，
變形可得（a₁+9d）+（a₁+10d）=a₁₀+a₁₁＜0，
結合a₁₀•a₁₁＜0，可得a₁₀＞0，a₁₁＜0，故③正確；
又可得a₁₀ =a₁+9d＞0，a₁₁=a₁+10d＜0，故-9d＜a₁＜-10d．
綜上可得-9d＜a₁＜-

19

2

d．
令 S_n＞0，且 S_n+1≤0，可得na₁+

n(n-1)

2

d＞0，且 （n+1）a₁+

n(n+1)

2

d≤0．
化簡可得 a₁+

n-1

2

d＞0，且a₁+

n

2

d≤0．
即 n＜-

2a1

d

+1，且 n≥-

2a1

d

．
再由-9d＜a₁＜-

19

2

d，可得 18＜-

2a1

d

＜19，
∴19≤n≤19，
∴n=19，故④正確；
由二次函數的性質可得②錯誤
故選：D

點評：本題考查等差數列的性質，涉及二次函數的性質和不等式的性質，屬中檔題．