Question

設

i

，

j

是平面直角坐標系內x軸、y軸正方向上的單位向量，且

AB

=4

i

+2

j

，

AC

=3

i

+4

j

，則△ABC面積的值等于

5

．

Answer 1

分析：由題意，

i

，

j

是平面直角坐標系內x軸、y軸正方向上的單位向量，且

AB

=4

i

+2

j

，

AC

=3

i

+4

j

，可得

AB

=(4，2)，

AC

=(3，4)由三角形面積公式知，可先由公式cos∠BAC=

AB • AC

|AB | |AC |

 求出兩向量夾角余弦，再求出sin∠BAC，代入面積公式S_△ABC=

1

2

|AB

|

|AC

|sin∠BAC，即可求出三角形的面積

解答：解：由題意知

AB

=(4，2)，

AC

=(3，4)
又cos∠BAC=

AB • AC

|AB | |AC |

=

20

20 × 25

=

2 5

5

，
∴sin∠BAC=

5

5

又S_△ABC=

1

2

|AB

|

|AC

|sin∠BAC=

1

2

×2

5

×5×

5

5

=5
故答案為5

點評：本題考查向量在幾何中的應用，考查了向量坐標的定義，向量夾角的坐標表示，向量模的坐標表示，同角三角函數關系，三角形面積公式，解題的關鍵是熟練掌握三角形的面積公式S_△ABC=

1

2

|AB

|

|AC

|sin∠BAC，由公式確定出解題的方向先求出兩向量的夾角．由題設條件得出兩向量的坐標是本題的難點，理解向量坐標表示的定義是突破難點的關鍵．