Question

已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)，(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的圖象，它與y軸的交點為（0，

3

2

），它在y軸右側的第一個最大值點和最小值點分別為（x₀，3），（x₀+2π，-3）．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）求這個函數的單調遞增區間和對稱中心．
（3）該函數的圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到？

Answer 1

分析：（1）通過函數的最大值點求出A，最大值與最小值的橫坐標求出函數的周期，然后求出ω，利用函數經過（0，

3

2

），以及φ的范圍，求出φ，然后得到函數y=f（x）的解析式；
（2）通過（1）的函數的解析式，利用正弦函數的單調增區間好對稱中心，直接求這個函數的單調遞增區間和對稱中心．
（3）通過左加右減的原則，可由y=sinx（x∈R）的圖象經過向左平移和縱坐標伸長伸的變換得到函數的解析式．

解答：解：（1）由題意可得A=3，由在y軸右側的第一個最大值點和最小值點分別為（x₀，3），（x₀+2π，-3）得

T

2

=x0+2π-x0=2π，
∴T=4π從而ω=

1

2

又圖象與y軸交于點(0，

3

2

)，
∴

3

2

=3sinφ⇒sinφ=

1

2

由于|φ|＜

π

2

)，
∴φ=

π

6

函數的解析式為f(x)=3sin(

1

2

x+

π

6

)
（2）因為

1

2

x+

π

6

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z，所以x∈[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

]，(k∈Z)，
函數的單調遞增區間：[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

]，(k∈Z)；
因為

1

2

x+

π

6

=kπ   k∈Z，解得x=-

π

3

+2kπ，(k∈Z)，所以函數的對稱中心：(

π

3

+2kπ，0)(k∈Z)
（3）將函數y=sinx的圖象向左平移

π

6

個單位，再將所得函數的圖象縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的兩倍，最后將所得函數的圖象橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的3倍得到函數y=3sin(

1

2

x+

π

6

)的圖象．

點評：本題是中檔題，考查三角函數的解析式的求法，注意A，ω，φ的求法，函數的單調增區間的求法，考查計算能力，注意平移時x的系數，避免錯誤．