Question

(本題滿分14分)

已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁＝，公比q＝的等比數(shù)列，設(shè)b_n＋2＝3loga_n(n∈N^*)，數(shù)列{c_n}滿足c_n＝a_n·b_n.

(1)求證：{b_n}是等差數(shù)列；   (2)求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n；

 

Answer 1

【答案】

(1)略

(2) c_n＝(3n－2)×()ⁿ，(n∈N^*)，S_n＝－·()ⁿ(n∈N^*)．

【解析】解：(1)證明：由題意知，a_n＝()ⁿ(n∈N^*)．∵b_n＝3loga_n－2，b₁＝3loga₁－2＝1，∴b_n＋1－b_n＝

3loga_n＋1－3loga_n＝3log＝3logq＝3，∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為b₁＝1，公差為d＝3的等差數(shù)列．

(2)由(1)知，a_n＝()ⁿ，b_n＝3n－2(n∈N^*)，∴c_n＝(3n－2)×()ⁿ，(n∈N^*)，

∴S_n＝1×＋4×()²＋7×()³＋…＋(3n－5)×()^n－1＋(3n－2)×()ⁿ，

于是S_n＝1×()²＋4×()³＋7×()⁴＋…＋(3n－5)×()ⁿ＋(3n－2)×()^n＋1，

兩式相減得S_n＝＋3[()²＋()³＋…＋()ⁿ]－(3n－2)×()^n＋1＝－(3n＋2)×()^n＋1，

∴S_n＝－·()ⁿ(n∈N^*)．