Question

（本小題滿分14分）已知函數，.（其中為自然對數的底數），

（Ⅰ）設曲線在處的切線與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）若對于任意實數≥0，恒成立，試確定實數的取值范圍；

（Ⅲ）當時，是否存在實數，使曲線C：在點

處的切線與軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）＝－1；（2）；（3）不存在實數，使曲線C：在點處的切線與軸垂直.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）， …1分 , 在處的切線的斜率為，…2分

又直線的斜率為，      ………………………3分

∴（）＝－1，∴ ＝－1.       ……………………5分

（Ⅱ）∵當≥0時，恒成立，∴ 先考慮＝0，此時，，

可為任意實數；     ………………………6分

又當＞0時，恒成立，則恒成立，  …………7分

設＝，則＝，

當∈(0,1)時，＞0，在(0,1)上單調遞增，當∈(1,＋∞)時，＜0，在(1,＋∞)上單調遞減，故當＝1時，取得極大值，， ………9分

∴ 要使≥0，恒成立，＞－，∴ 實數的取值范圍為．  …10分

（Ⅲ）依題意，曲線C的方程為，

令＝，則＝

設，則，

當，，故在上的最小值為，…………………12分

所以≥0，又，∴＞0，

而若曲線C：在點處的切線與軸垂直，則＝0，矛盾。 …13分

所以，不存在實數，使曲線C：在點處的切線與軸垂直.…14分

考點：導數的幾何意義；直線垂直的條件；導數在研究函數中的應用。

點評：解決恒成立問題常用變量分離法，變量分離法主要通過兩個基本思想解決恒成立問題， 思路1：在上恒成立；思路2: 在上恒成立。