Question

已知函數(shù)
（1）求函數(shù)在上的最大值與最小值；
（2）若時(shí)，函數(shù)的圖像恒在直線上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）證明：當(dāng)時(shí)，

Answer 1

（1）;（2）;(3)證明見(jiàn)解析．

試題分析：（1）由知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得函數(shù)的最值．(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒直線的上方，等價(jià)于時(shí)，不等式恒成立，即恒成立．令,由可得的取值，從而得的取值；（3）由（2）知當(dāng)時(shí)，，，則，即，令取1，2…可得不等式，累加可得．
解：（1）定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054430515523.png" style="vertical-align:middle;" />，且，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，,
在為為減函數(shù)；在上為增函數(shù)，

 ．
(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒直線的上方，等價(jià)于時(shí)，不等式恒成立，即恒成立，令，則當(dāng)時(shí)，，故在  上遞增，所以時(shí)，，故滿足條件的實(shí)數(shù)取值范圍是．
（3）證明：由（2）知當(dāng)時(shí)，     
令，則，化簡(jiǎn)得      

  

即