Question

設F₁、F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，P為橢圓上的任意一點，滿足|PF₁|+|PF₂|=8，△PF₁F₂的周長為12．
（1）求橢圓的方程；
（2）求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（3）已知點A（8，0），B（2，0），是否存在過點A的直線l與橢圓交于不同的兩點C，D．使得|BC|=|BD|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用|PF₁|+|PF₂|=8，△PF₁F₂的周長為12，可得2a=8，2a+2c=12，從而可求橢圓的方程；
（2）由（1）知F₁（-2，0），F₂（2，0），設P（x，y），則

PF1

•

PF2

=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²+y²-4=

1

4

x2+8，根據x∈[-4，4]，可得x²∈[0，16]，從而可求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（3）直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=k（x-8），與橢圓方程聯立

y=k(x-8) x2 16 + y2 12 =1

，消元得一元二次方程，從而可求CD的中點的坐標，利用|BC|=|BD|，可得BT⊥CD，從而可建立方程，故可解．

解答：解：（1）由題設，2a=8，2a+2c=12，∴a=4，c=2，∴b²=a²-c²=12，∴橢圓的方程為

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）由（1）知F₁（-2，0），F₂（2，0），設P（x，y），則

PF1

•

PF2

=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²+y²-4=

1

4

x2+8
∵x∈[-4，4]，∴x²∈[0，16]，∴8≤

PF1

•

PF2

≤12
當且僅當點P為短軸端點時，

PF1

•

PF2

有最小值8；點P為長軸端點時，

PF1

•

PF2

有最大值12．
（3）當直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓無交點，所以直線l的斜率存在，不妨設為k，則直線l的方程為y=k（x-8）
由方程組

y=k(x-8) x2 16 + y2 12 =1

，消元得（4k²+3）x²-64k²x+16（16k²-3）=0
∵過點A的直線l與橢圓交于不同的兩點C，D，
∴△=64²k⁴-64（4k²+3）（16k²-3）＞0
∴-

1

2

＜k＜

1

2

設交點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點為T（x₀，y₀）
∴x₁+x₂=

64k2

4k2+3

，x0=

x1+x2

2

=

32k2

4k2+3

，y0=k(x0-5)=

-24k

4k2+3

∴T（

32k2

4k2+3

，

-24k

4k2+3

）
∵|BC|=|BD|，∴BT⊥CD
∵kBT=

-24k 4k2+3

32k2 4k2+3 -2

=

-24k

24k2-6

∴k•kBT=

-24k2

24k2-6

=-1，方程無解
∴不存在過點A的直線l與橢圓交于不同的兩點C，D，使得|BC|=|BD|．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查直線與橢圓的位置關系，考查探究性問題，通常假設存在，從而問題得解．