Question

當今世界進入了計算機時代，我們知道計算機裝置有一個數據輸入口A和一運算結果輸出口B，某同學編入下列運算程序，將數據輸入且滿足以下性質：
①從A輸入1時，從B得到

1

3

；
②從A輸入整數n（n≥2）時，在B得到的結果f（n）是將前一結果f（n-1）先乘以奇數2n-3，再除以奇數2n+1．
（1）求f（2），f（3），f（4）；
（2）試由（1）推測f（n）的表達式，并用數學歸納法證明；
（3）求

lim

n→∞

f(1)+f(2)+…+f(n)．

Answer 1

分析：（1）由已知，得出f（n）=

2n-3

2n+1

f（n-1）（n≥2）．依次令n=2，3，4可求出f（2），f（3），f（4）；
 （2）根據（1）的結果，推測并依照數學歸納法進行證明．
（3）f（n）=

1

(2n-1)(2n+1)

裂項為

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）．求和后再求極限．

解答：（1）解：是題意知f（1）=

1

3

，f（n）=

2n-3

2n+1

f（n-1），
∴當n=2時f（x）=

1

15

，
當n=3時f（3）=

1

35

，
當n=4時f（4）=

1

63

，
猜想f（n）=

1

(2n-1)(2n+1)

．…（3分）
（2）證明：（ⅰ）當n=1時f（1）=

1

3

滿足f（n）=

1

(2n-1)(2n+1)

．
（ⅱ）假設n=k（k∈N^*且k≥1）時，f（k）=

1

(2n-1)(2n+1)

．，
那么n=k+1時，f（k+1）=

2k-1

2k+3

f（k）=

2k-1

2k+3

×

1

(2k-1)(2k+1)

=

1

[2(k+1)-1][2(k+1)+1]

∴n=k+1時也滿足f（n）=

1

(2n-1)(2n+1)

．
綜上知：f（n）=

1

(2n-1)(2n+1)

．…（8分）
（3）

lim

n→∞

f(1)+f(2)+…+f(n)=

lim

n→∞

[

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

]
=lim

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

lim

n→∞

(1-

1

2n+1

)=

1

2

                                    …（12分）

點評：本題考查閱讀、推理、論證、計算能力，借助于數列的遞推公式，裂項法求和、極限的知識繼續能力考查．