Question

(本小題滿分12分) 設不等式組表示的平面區域為,區域內的動點到直線和直線的距離之積為2, 記點的軌跡為曲線. 是否存在過點的直線l, 使之與曲線交于相異兩點、,且以線段為直徑的圓與y軸相切？若存在,求出直線l的斜率;若不存在, 說明理由．

Answer 1

k＝－

由題意可知，平面區域如圖陰影所示．設動點為，則
，即

．
由知，x－y<0，即x²－y²<0．
所以y²－x²＝4(y＞0)，即曲線的方程為
－＝1(y＞0)     
設，，則以線段為直徑的圓的圓心為.
因為以線段為直徑的圓與軸相切，所以半徑 ，即
       
因為直線AB過點F(2，0)，當AB ^x軸時，不合題意．所以設直線AB的方程為y＝k(x－2)．代入雙曲線方程－＝1(y＞0)得:
k²(x－2)²－x²＝4，即
(k²－1)x²－4k²x＋(8k²－4)＝0．
因為直線與雙曲線交于A，B兩點，所以k≠±1．于是
x₁＋x₂＝，x₁x₂＝．
故   |AB|＝＝  
＝＝|x₁＋x₂|＝||，
化簡得：k⁴＋2k²－1＝0
解得: k²＝－1 （k²＝－－1不合題意，舍去）．
由△＝(4k²)²－4(k²－1)(8k²－4)＝3k²－1＞0，又由于y＞0，所以－1<k<－ ．
所以, k＝－