Question

已知點P（x，y）與點A(-

2

，0)，B(

2

，0)連線的斜率之積為1，點C的坐標為（1，0）．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）過點Q（2，0）的直線與點P的軌跡交于E、F兩點，求證

CE

•

CF

為常數．

Answer 1

（本題滿分12分）
（Ⅰ）直線PA和PB的斜率分別為

y

x+ 2

與

y

x- 2

，（x≠±

2

），…（2分）
∵點P（x，y）與點A(-

2

，0)，B(

2

，0)連線的斜率之積為1，
∴

y

x+ 2

• 

y

x- 2

=1，
即y²=x²-2，…（4分）
所求點P的軌跡方程為x²-y²=2，（x≠±

2

）．…（5分）
（Ⅱ）設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
設過點Q（2，0）的直線為y=k（x-2），…（6分）
將它代入x²-y²=2，
得（k²-1）x²-4k²x+4k²+2=0．…（7分）
由韋達定理，得

x1+x2= 4k2 k2-1 x1x2= 4k2+2 k2-1

，…（8分）
∴

CE

•

CF

=(x1-1，y1)•(x2-1，y2)
=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂
=x1x2-(x1+x2)+1+k2(x1-2)•(x2-2)
=（1+k²）x₁x₂-（1+2k²）（x₁+x₂）+1+4k²
=（1+k²）•

4k2+2

k2-1

-（1+2k²）•

4k2

k2-1

+1+4k²
=-1．    …（10分）
當直線斜率不存在時，

x2-y2=2 x=2

，解得E（2，

2

），F（2，-

2

），
此時

CE

•

CF

=(1，

2

)•(1，-

2

)=-1．    …（12分）
故

CE

•

CF

=-1．
所以

CE

•

CF

為常數-1．…（12分）