Question

如圖，在平面直角坐標系中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．
（I）若A，B兩點的縱會標分別為

4

5

，

12

13

，求cos(β-α)的值；
（II）已知點C是單位圓上的一點，且

OC

=

OA

+

OB

，求

OA

和

OB

的夾角θ．

Answer 1

分析：（I）根據三角函數的定義，求得sinα=

4

5

，sinβ=

12

13

．由α是銳角、β為鈍角可得cosα、cosβ的值，利用兩角和與差的余弦公式求得cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα的值．
（II）由題意可得|

OC

|=|

OA

|=|

OB

|=1，設

OA

和

OB

的夾角為θ，0≤θ≤π，則有

OC

2=(

OA

+

OB

)2．求出

OA

•

OB

 的值，再利用兩個向量的夾角公式求出cosθ，可得θ的值．

解答：解：（I）根據三角函數的定義，得sinα=

4

5

，sinβ=

12

13

．由α是銳角，所以，cosα=

3

5

．
由β為鈍角可得 cosβ=-

5

13

．
所以，cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα=（-

5

13

）×

3

5

+

12

13

×

4

5

=

33

65

．
（II）已知點C是單位圓上的一點，且

OC

=

OA

+

OB

，|

OC

|=|

OA

|=|

OB

|=1，
設

OA

和

OB

的夾角為θ，0≤θ≤π，則有

OC

2=(

OA

+

OB

)2．
展開化簡可得

OA

•

OB

=-

1

2

．
可得cosθ=

OA • OB

| OA |•| OB |

=

- 1 2

1×1

=-

1

2

，從而可得 θ=

2π

3

．

點評：本題主要考查任意角的三角函數的定義，平面向量數量積的定義，同角三角函數基本關系的運用，兩角和與差的余弦函數，考查計算能力，是中檔題．