Question

（2011•豐臺區二模）已知函數f（x）=x²-2x，g（x）=ax+2（a＞0），若?x₁∈[-1，2]，?x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₂），則實數a的取值范圍是（　　）

• A．(0，

  1

  2

  ]
• B．[

  1

  2

  ，3]
• C．（0，3]
• D．[3，+∞）

Answer 1

分析：根據二次函數的圖象求出f（x）在[-1，2]時的值域為[-1，3]，再根據一次g（x）=ax+2（a＞0）為增函數，求出g（x₂）∈[2-a，2a+2]，由題意得f（x）值域是g（x）值域的子集，從而得到實數a的取值范圍．

解答：解：∵函數f（x）=x²-2x的圖象是開口向上的拋物線，且關于直線x=1對稱
∴x₁∈[-1，2]時，f（x）的最小值為f（1）=-1，最大值為f（-1）=3，
可得f（x₁）值域為[-1，3]
又∵g（x）=ax+2（a＞0），x₂∈[-1，2]，
∴g（x）為單調增函數，g（x₂）值域為[g（-1），g（2）]
即g（x₂）∈[2-a，2a+2]
∵?x₁∈[-1，2]，?x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₂），
∴

2-a≤-1 2a+2≥3

?a≥3
故選D

點評：本題著重考查了函數的值域，屬于中檔題．本題雖然是一道小題，但完全可以改成一道大題，處理的關鍵是對“任意”、“存在”的理解．