Question

已知圓M的方程為（x-2）²+y²=1，直線l的方程為y=2x，點P在直線l上，過P點作圓M的切線PA，PB，切點為A，B．
（1）若∠APB=60°，試求點P的坐標；
（2）求

PA

•

PB

的最小值；
（3）求證：經過A，P，M三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）由題可知MP=2，M（2，0），由此可求點P的坐標；
（2）利用向量的數量積公式，計算

PA

•

PB

，結合切線長公式，利用配方法，即可求得最小值；
（3）求得經過A，P，M三點的圓的方程，利用圓系方程，即可得到必過定點．

解答：（1）解：設P（m，2m），由題可知MP=2，M（2，0），所以（2m）²+（m-2）²=4，解之得m=0，m=

4

5

．
故所求點P的坐標為P（0，0）或（

4

5

，

8

5

）．  …（4分）
（2）解：設P（m，2m），則

PA

•

PB

=|

PA

|2cos∠PAB．
又|

PA

|2=PM2-1，cos∠PAB=1-2sin2

∠PAB

2

=1-

2

PM2

，
∴

PA

•

PB

=|

PA

|2cos∠PAB=(PM2-1)(1-

2

PM2

)=PM2+

2

PM2

-3．…（7分）
又PM2=(m-2)2+(2m)2=5m2-4m+4∈[

16

5

，+∞)，
∴

PA

•

PB

=|

PA

|2cos∠PAB=PM2+

2

PM2

-3=(PM-

2

PM

)2-1∈[

33

40

，+∞)，
故

PA

•

PB

的最小值

33

40

．                                  …（10分）
（3）證明：設P（m，2m），MP的中點Q(

m

2

+1，m)，
因為PA是圓M的切線，所以經過A，P，M三點的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，
故其方程為(x-

m

2

-1)2+(y-m)2=m2+(

m

2

-1)2，
化簡得x²+y²-2x+m（-x-2y+2）=0，…（13分）
故

x2+y2-2x=0 -x-2y+2=0

解得

x=2 y=0

或

x= 2 5 y= 4 5 .

所以經過A，P，M三點的圓必過定點（2，0）和(

2

5

，

4

5

)．         …（16分）

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查向量的數量積公式，考查學生的計算能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．