Question

（2008•湖北模擬）已知函數f（x）=x|x+m|+n，其中m，n∈R．
（Ⅰ）求證：m²+n²=0是f（x）是奇函數的充要條件；
（Ⅱ）若常數n=-4且f（x）＜0對任意x∈[0，1]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證明充分性，即m²+n²=0⇒f（x）是奇函數，再證明必要性，即f（x）是奇函數⇒m²+n²=0，可用其對稱性，由特殊值代入法進行證明
（Ⅱ）解決不等式恒成立問題的常用方法是參變分離求最值，先討論x=0的情況，在x≠0的條件下實現參變分離，分別求最值即可

解答：解（I）充分性：若m²+n²=0，則m=n=0，∴f（x）=x|x|，
又有f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），∴f（x）為奇函數．
必要性：若f（x）為奇函數，∵x∈R，
∴f（0）=0，即n=0，∴f（x）=x|x+m|
由f（1）=-f（-1），有|m+1|=|m-1|，∴m=0．
∴f（x）為奇函數，則m=n=0，即m²+n²=0．
∴m²+n²=0是f（x）為奇函數的充要條件．
（Ⅱ）若x=0時，m∈R，f（x）＜0恒成立；
若x∈（0，1]時，原不等式可變形為|x+m|＜-

n

x

．即-x+

n

x

＜m＜-x-

n

x

．
∴只需對x∈（0，1]，滿足

m＜(-x- -4 x )min① m＞(-x+ -4 x )max②

對①式f1(x)=-x+

4

x

在（0，1]上單調遞減．
∴m＜f₁（1）=3．③
對②式，設f&2(x)=-x-

4

x

，根據單調函數的定義可證明f₂（x）在（0，1]上單調遞增，
∴f₂（x）_max=f（1）．
∴m＞f₂（1）=-5．④
由③④知-5＜m＜3．

點評：本題考查了函數奇偶性的定義，充要條件的證明，不等式恒成立問題的解法，解題時要規范解題，善于總結，縝密思維，準確作答