Question

【題目】太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的和諧美，定義：能夠?qū)�圓的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩個(gè)部分的函數(shù)稱為圓的一個(gè)“太極函數(shù)”，則下列有關(guān)說法中：

①對(duì)于圓的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中，一定不能為偶函數(shù)；

②函數(shù)是圓的一個(gè)太極函數(shù)；

③存在圓，使得是圓的一個(gè)太極函數(shù)；

④直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)一定是圓的太極函數(shù)；

⑤若函數(shù)是圓的太極函數(shù)，則

所有正確的是__________．

Answer 1

【答案】②④⑤

【解析】對(duì)①顯然錯(cuò)誤,如圖

對(duì)②,點(diǎn)(0,1)均為兩曲線的對(duì)稱中心,且f(x)=sinx+1能把圓一分為二,正確

對(duì)③,函數(shù)為奇函數(shù),當(dāng)x→0(x>0)時(shí)，

f(x)→+∞，

當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)→1,[f(x)>1]，函數(shù)遞減；

當(dāng)x→0(x<0)時(shí),f(x)→∞，

當(dāng)x→∞時(shí),f(x)→1,[f(x)<1]，

函數(shù)f(x)關(guān)于(0,0)中心對(duì)稱，有三條漸近線y=±1，x=0，

可知，函數(shù)的對(duì)稱中心為間斷點(diǎn)，故不存在圓使得滿足題干條件

對(duì)于④直線(m+1)x(2m+1)y1=0恒過定點(diǎn)(2,1)，滿足題意。

對(duì)于⑤函數(shù)為奇函數(shù),與圓的交點(diǎn)恒坐標(biāo)為(1,1)，

∴且，

∴，

令,得

得t=1即x=±1；

對(duì),當(dāng)k=0時(shí)顯然無解,△<0即0<k2<4時(shí)也無解，

即k∈(2,2)時(shí)兩曲線僅有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)能把圓一分為二，且周長(zhǎng)和面積均等分。

若k=±2時(shí)，函數(shù)圖象與圓有4個(gè)交點(diǎn)，

若k2>4時(shí)，函數(shù)圖象與圓有6個(gè)交點(diǎn)，均不能把圓一分為二。

故所有正確的是②④⑤

故答案為：②④⑤