Question

【題目】已知二次函數f（x）=x2﹣16x+q+3
（1）若函數在區間[﹣1，1]上存在零點，求實數q的取值范圍；
（2）問：是否存在常數q（0＜q＜10），使得當x∈[q，10]時，f（x）的最小值為﹣51？若存在，求出q的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：若二次函數f（x）=x2﹣16x+q+3的圖象是開口朝上，且以直線x=8為對稱軸的拋物線，

故函數在區間[﹣1，1]上為減函數，

若函數在區間[﹣1，1]上存在零點，

則 ，即 ，

解得：q∈[﹣20，12]

（2）解：若存在常數q（0＜q＜10），使得當x∈[q，10]時，f（x）的最小值為﹣51，

當0＜q≤8時，f（8）=q﹣61=﹣51，解得：q=10（舍去），

當8＜q＜10時，f（q）=q2﹣15q+3=﹣51，解得：q=9，或q=6（舍去），

綜上所述，存在q=9，使得當x∈[q，10]時，f（x）的最小值為﹣51

【解析】（1）若函數在區間[﹣1，1]上存在零點，則 ，即 ，解得實數q的取值范圍；（2）假定存在滿足條件的q值，結合二次函數的圖象和性質，對q進行分類討論，最后綜合討論結果，可得答案．
【考點精析】掌握二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．