Question

如圖，已知點M（x，y）是橢圓C：=1上的動點，以M為切點的切線l與直線y=2相交于點P．
（1）過點M且l與垂直的直線為l₁，求l₁與y軸交點縱坐標的取值范圍；
（2）在y軸上是否存在定點T，使得以PM為直徑的圓恒過點T？若存在，求出點T的坐標；若不存在，說明理由．
（參考定理：若點Q（x₁，y₁）在橢圓，則以Q為切點的橢圓的切線方程是：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求切線的斜率，可得直線l₁的方程，確定l₁與y軸交點縱坐標，即可求得l₁與y軸交點縱坐標的取值范圍；
（2）確定P的坐標，利用以PM為直徑的圓恒過點T，結合向量知識，即可求得結論．
解答：解：（1）由橢圓得：，y'=
切線的斜率為：k=，
所以，直線l₁的方程為：，
所以l₁與y軸交點縱坐標為：y=-=
因為-1≤x≤1，所以，，，
所以，當切點在第一、二象限時，l₁與y軸交點縱坐標的取值范圍為：，
則利用對稱性可知l₁與y軸交點縱坐標的取值范圍為：．
（2）依題意，可得∠PTM=90°，設存在T（0，t），M（x，y）
由（1）得點P的坐標（，2），
由可得（0-，t-2）•（-x，t-y）=0，
∴1-y+（t-2）（t-y）=0，
∴y（1-t）+（t-1）²=0
∴t=1
∴存在點T（0，1）滿足條件．
點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的運算能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．