Question

（提示：請從以下兩個不等式選擇其中一個證明即可，若兩題都答以第一題為準）
（1）設a_i∈R₊，b_i∈R₊，i=1，2，…n，且a₁+a₂+…a_n=b₁+b₂+…b_n=2，求證：
（2）設a_i∈R₊（i=1，2，…n），求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證不等式的左式=
=結合柯西不等式即可得到證明．
（2）先由排序不等式，得：a₁²+a₂²+…+a_n²≥a₁a₂+a₂a₃+…+a_na₁，a₁²+a₂²+…+a_n²≥a₁a₃+a₂a₄+…+a_na₂兩式相加后結合柯西不等式即可得到證明．
解答：證明：（1）左式=
=
=
（2）由排序不等式，得：a₁²+a₂²+…+a_n²≥a₁a₂+a₂a₃+…+a_na₁，a₁²+a₂²+…+a_n²≥a₁a₃+a₂a₄+…+a_na₂
兩式相加：2（a₁²+a₂²+…+a_n²）≥a₁（a₂+a₃）+a₂（a₃+a₄）…+a_n（a₁+a₂），從而

≥（a₁+a₂+…a_n）²，即證．
點評：本小題主要考查不等式的證明、排序不等式、柯西不等式等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．